Variabel Acak

VARIABEL ACAK

Pengertian Variabel Acak

Variabel acak atau bisa disebut hasil operasi analisa numerik non-deterministik atau membentuk percobaan non-deterministik yang menghasilkan hasil acak. Contohnya, menggolongkan uang koin untuk mencatat hasil dari variabel acak {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Memilih orang yang acak dan mengukur tinggi badan mereka adalah contoh lain dari suatu variabel acak.

Secara matematis, variabel acak di definisikan sebagai fungsi dari ukuran ruang probabilitas untuk ukuran ruang. Ruang adalah ruang variabel yang mungkin, umumnya diambil untuk bilangan real dengan Borel s-aljabar, dan akan selalu digunakan, kecuali dalam kasus khusus.

Variabel acak dibagi menjadi 2 yaitu variabel acak diskrit dan variabel acak kontinyu.

Variabel Acak Diskrit

          Variabel acak adalah suatu fungsi yang nilainya berupa bilangan nyata yang ditentukan oleh setiap unsur dalam ruang contoh disebut peubah acak (Walpole, 1993). Variabel acak diskrit adalah suatu variabel acak yang memiliki nilai dicacah, sementara variabel acak kontinu memiliki nilai yang tak terhingga banyaknya sepanjang interval yang tidak terputus variabel acak kontinu diperoleh dari hasil pengukuran (Harinaldi, 2005).

            Distribusi variabel acak diskrit terbagi atas distribusi seragam, distribusi binomial, distribusi multinominal, distribusi hipergeometrik, distribusi binomial negatif, distribusi geometrik dan distribusi poisson. Penjelasan dari setiap distribusi tersebut akan dijelaskan sebagai berikut:

1.      Distribusi Seragam

Distribusi seragam diskrit adalah bila peubah acak x mempunyai nilai x1 , x2 , ... , xk , dengan peluang yang sama, maka distribusi seragam diskritnya diberikan oleh (Walpole, 1993)

Distribusi seragam telah menggunakan notasi f(x,k) alih-alih f(x) untuk menunjukkan bahwa seragam itu bergantung pada parameter k (Walpole, 1993).

Contoh : Bila sebuah dadu setimbang dilemparkan, setiap unsur ruang contoh S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} mempunyai peluang yang sama untuk muncul, yaitu 1/6. Oleh karena itu kita mempunyai Distribusi seragam dengan f (x; 6) = 1/6 untuk x = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

2.      Distribusi Binominal

Distribusi binomial adalah bila suatu ulangan binomial yang mempunyai peluang keberhasilan p dan peluang kegagalan q = 1 – p, maka distribusi peluang bagi peubah acak binomial x, yaitu banyaknya keberhasilan dalam n ulangan yang bebas adalah (Walpole, 1993).

Umumnya suatu eksperimen atau percobaan dapat dikatakan eksperimen binomial apabila memenuhi syarat berikut ini (Supranto, 2001):

1.      Banyaknya eksperimen merupakan bilangan tetap (fixed number of trials).

2.      Eksperimen mempunyai 2 hasil yang dikategorikan menjadi sukses dan gagal.

3.      Probabilitas sukses sama pada setiap percobaan

4.      Eksperimen tersebut harus bebas satu sama lainnya, artinya hasil eksperimen yang satu tidak mempengaruhi hasil eksperimen lainnya

Apabila suatu himpunan yang terdiri dari n elemen dibagi dua, yaitu x sukses dan ( n – x) gagal, maka banyaknya permutasi dari n elemen yang diambil x setiap kali dapat dihitung berdasarkan rumus berikut (Supranto, 2001):

                                                P(X=x) = nC_x P^x  q^n-x

Keterangan:

x = Jumlah sukses, x = 1, 2, ... , n

n = Jumlah percobaan, n = 1,2,3, ...

p = Probabilitas sukses, dimana p = 0 ≤ p ≤ 1

q = ( 1 – p ) = Peluang gagal

3.      Distribusi Multinominal

Distribusi binomial hasil sebuah percobaan hanya dikategorikan 2 macam yaitu sukses dan gagal, maka dalam distribusi multinomial sebuah percobaan akan menghasilkan beberapa kejadian yang lebih dari 2 yang saling meniadakan / saling lepas (Mutually exclusive). Misalkan ada sebanyak k kejadian dalam sebuah percobaan, katakan kejadian B1 , B2 , B3... , Bk . Jika percobaan diulang sebanyak n kali dan peluang terjadinya setiap kejadian B konstan / tetap dari setiap percobaan dengan P(Bi) = Pi , untuk i = 1, 2, 3 ..., k, dan x1, x2, x3, ... , xk menyatakan jumlah terjadinya kejadian Bi (i = 1, 2, 3 ..., k) dalam n percobaan, maka fungsi distribusi multinomial ditulis sebagai berikut (Supranto, 2001):

Keterangan :

n, = menyatakan jumlah percobaan

x1, x2, x3, ... , xk) = menyatakan jumlah kejadian B1 , B2 , B3... , Bk

p1 x1 p2 x2 p3 x3 . . . pk xk = adalah probabilitas terjadinya kejadian B1 , B2 ,..., Bk

4.      Distribusi Hipergeometri

Distribusi hipergeometri sangat erat kaitannya dengan distribusi binomial. Perbedaannya antara distribusi hipergeometri dengan binomial adalah bahwa distribusi hipergeometri, percobaan tidak bersifat bebas. Artinya, antara percobaan yang satu dengan yang lainnya saling berkait. Selain itu probabilitas sukses berubah tidak sama dari percobaan yang satu ke percobaan lainnya (Walpole, 1993).

Notasi-notasi yang biasanya digunakan dalam distribusi hipergeometri adalah sebagai berikut (Walpole, 1993) :

r : menyatakan jumlah unit / elemen dalam populasi berukuran N yang dikategorikan atau diberi label sukses.

N - r : menyatakan jumlah unit / elemen dalam populasi yang diberi label gagal

n : ukuran sampel yang diambil dari populasi secara acak tanpa pengembalian (without replacement)

x : jumlah unit / elemen berlabel sukses diantara n unit / elemen

Untuk mencari probabilitas x sukses dalam ukuran sampel n, kita harus memperoleh sukses dari r sukses dalam populasi, dan n – x gagal dari N – r gagal. Jadi, fungsi probabilitas hipergeometri dapat dituliskan sebagai berikut (Walpole, 1993) :

Dimana,

p(x) : probabilitas x sukses atau jumlah sukses sebanyak x dalam n kali percobaan

n : jumlah percobaan

N : jumlah elemen dalam populasi

k : jumlah populasi berlabel sukses

x : jumlah percobaan sukses yang terjadi

5.      Distribusi Binominal Negatif

Distribusi binomial negatif adalah bila ulangan yang bebas dan berulang–ulang dapat menghasilkan keberhasilan dengan peluang p dan kegagalan dengan peluang q = 1 – p, maka distribusi peluang bagi peubah acak x, yaitu banyaknya ulangan sampai terjadinya k keberhasilan, diberikan menurut rumus berikut ini (Walpole, 1993) :

6.      Distribusi Geometrik

Distribusi geometrik adalah bila tindakan yang bebas dan berulang-ulang dapat menghasilkan keberhasilan dengan peluang p dan kegagalan dengan peluang q = 1 – p, maka distribusi peluang bagi peubah acak x, yaitu banyaknya ulangan sampai munculnya keberhasilan yang pertama, diberikan menurut rumus sebagai berikut (Walpole, 1993) :

7.      Distribusi Poisson

Distribusi probabilitas binomial untuk percobaan dengan probabilitas sukses (p) kurang dari 0,05. Namun perhitungan tersebut akan sangat tidak efektif dan akurat khususnya untuk nilai n yang sangat besar, misalnya 100 atau lebih. Oleh sebab itu, dikembangkan satu bentuk distribusi binomial yang mampu mengalkulasikan distribusi ini hanya dengan kemungkinan sukses (p) sangat kecil dan jumlah eksperimen (n) sangat besar, yang disebut distribusi poisson (Supranto, 2001).

Distribusi poisson biasanya melibatkan jumlah n yang besar, dengan p kecil, distribusi ini biasanya digunakan untuk menghitung nilai probabilitas suatu kejadian dalam suatu selang waktu dan daerah tertentu. Contoh banyaknya dering telepon dalam satu jam di suatu kantor, banyaknya kesalahan ketik dalam satu halaman laporan, banyaknya bakteri dalam air yang bersih, banyaknya presiden meninggal karena kecelakaan lalu lintas. Distribusi poisson digunakan untuk menghitung probabilitas suatu kejadian yang jarang terjadi (Supranto, 2001).

Rumus untuk menyelesaikan distribusi poisson adalah sebagai berikut (Supranto, 2001) :

               

Keterangan:

􀟤 : rata –rata banyaknya hasil percobaan

                  x! : faktorial x, x = 0, 1, 2, 3, ... (menuju tak hingga)

                  e : konstanta 2,71828 ... (bilangan natural)

  

Variabel Acak Kontinu

          Varibel acak kontinu adalah variabel acak yang mengambil seluruh nilai yang ada dalam sebuah interval atau variabel yang dapat memiliki nilai-nilai pada suatu interval tertentu. Nilainya dapat merupakan bilangan bulat maupun pecahan. Varibel acak kontinu jika digambarkan pada sebuah garis interval, akan berupa sederetan titik yang bersambung membantuk suatu garis lurus.

Contoh :

1. Usia penduduk suatu daerah.
2. Panjang beberpa helai kain.

Distribusi variabel acak kontinu terbagi atas. Penjelasan dari setiap distribusi tersebut akan dijelaskan sebagai berikut:

1.      Distribusi Normal (Gaussian)

Distribusi Normal merupakan distribusi probabilitas kontinu yang paling penting dalam segala bidang Statistika. Distribusi ini memiliki karakteristik dan fungsi kepadatannya yang berbentuk kurva simetris menyerupai suatu lonceng, sehingga kurva Normal ini disebut kurva berbentuk lonceng (bell-shapped curve). disamping itu, distribusi Normal disebut juga sebagai Distribusi Gaussian.

Rumus: