Probabilitas (Peluang)

Probabilitas (Peluang)

A.   Pengertian Probabilitas

Probabilitas atau peluang adalah suatu ukuran tentang kemungkinan suatu peristiwa (event) akan terjadi dimasa mendatang. Probabilitas dapat juga diartikan sebagai harga angka yang menunjukan seberapa besar kemungkinan suatu peristiwa terjadi, diantara keseluruhan peristiwa yang mungkin terjadi. Probabilitas di lambangkan dengan (P).

Contoh 1: Sebuah mata uang logam mempunyai sisi dua (H & T) kalau mata uang tersebut dilambungkan satu kali, peluang untuk keluar sisi H adalah ½.

Contoh 2: Sebuah dadu untuk keluar mata ‘lima’ saat pelemparan dadu tersebut satu kali adalah 1/6 (karena banyaknya permukaan dadu adalah 6).

Rumus :

P (E) = X/N

P: Probabilitas

E: Event (Kejadian)

X: Jumlah kejadian yang diinginkan (peristiwa)

N: Keseluruhan kejadian yang mungkin terjadi

Probabilitas yang rendah menunjukkan kecilnya kemungkinan suatu peristiwa akan terjadi. Suatu probabilitas dinyatakan antara 0 sampai 1 atau dalam presentase.  Probabilitas 0 menunjukkan peristiwa yang tidak mungkin terjadi, sedangkan probabilitas 1 menunjukkan peristiwa yang pasti terjadi.

Ada tiga hal penting dalam probabilitas, yaitu:

1.     Percobaan adalah pengamatan terhadap beberapa aktivitas atau proses yang memungkinkan timbulnya paling sedikit 2 peristiwa tanpa memperhatikan peristiwa mana yang akan terjadi.

2.     Hasil adalah suatu hasil dari sebuah percobaan.

3.     Peristiwa adalah kumpulan dari satu atau lebih hasil yang terjadi pada sebuah percobaan atau kegiatan.

B.   Manfaat Probabilitas dalam Penelitian

Manfaat probabilitas dalam kehidupan sehari-hari adalah membantu kita dalam mengambil suatu keputusan, serta meramalkan kejadian yang mungkin terjadi. Jika kita tinjau pada saat kita melakukan penelitian, probabilitas memiliki beberapa fungsi antara lain:

1.     Membantu peneliti dalam pengambilan keputusan yang lebih tepat.

2.     Dengan teori probabilitas kita dapat menarik kesimpulan secara tepat atas hipotesis yang terkait tentang karakteristik populasi.

3.     Mengukur derajat ketidakpastian dari analisis sampel hasil  penelitian dari suatu populasi.

C.   Pendekatan Probabilitas

Ada 3 pendekatan dalam Probabilitas, yaitu:

1.     Pendekatan Klasik

Apabila suatu peristiwa (Event) E dapat terjadi sebanyak h dari sejumlah n kejadian yang mempunyai kemungkinan sama untuk terjadi maka probabilitas peristiwa E ata P(E) dapat dirumuskan:

P(E) =  h/n

misalnya:

Bila sekeping koin dilempar sekali, maka secara logika dikatakan bahwa masing-masing sisi mempunyai peluang yang sama , yaitu 0,5 karena koin hanya terdiri atas dua sisi masing-masing, dan masing-masing sisi mempunyai kesempatan yang sama untuk muncul atau dicatat. P(A) = P(B) = 0,5

2.     Pendekatan Relatif/Empiris

Perumusan perhitungan berdasarkan pendekatan empiris adalah atas dasar pengertian frekuensi relatif. Pendekatan ini dilakukan karena pendekatan perhitungan klasik dipandang memiliki beberapa kelemahan. Dalam kenyataan , syarat yang ditetapkan jarang dapat dipenuhi. Suatu peristiwa E mempunyai h kejadian dari serangkaian n kejadian dalam suatu percobaan, maka peluang E merupakan frekuensi relatif h/n , dinyatakan sebagai:

P (E) = lim h/n

untuk n mendekati nilai tak terhingga.

3.     Pendekatan Subjektif

Pada pendekatan subyektif, beberapa orang dapat saja memiliki keyakinan yang berbeda terhadap terjadinya suatu peristiwa, meskipun informasi yang diterima berkaitan dengan peristiwa tersebut adalah sama. Hal tersebut disebabkan karena setiap orang berpikir dam mempunyai keyakinan yang berbeda terhadap suatu masalah yang sama.

Dari pengertian-pengertian tersebut, dapat disusun suatu pengertian umum mengenai probabilitas, yaitu sebagai berikut:

Probabilitas adalah suatu indeks atau nilai yang digunakan untuk menentukan tingkat terjadinya suatu kejadian yang bersifat random (acak).

Oleh karena probabilitas merupakan suatu indeks atau nilai maka probabilitas memiliki batas-batas yaitu mulai dari 0 sampai dengan 1  0 ≤ P (E) ≤ 1

Artinya:

Jika P= 0 disebut probabilitas kemustahilan artinya kejadian atau peristiwa tersebut tidak akan terjadi

Jika P = 1, disebut probabilitas kepastian , artinya kejadian atau peristiwa tersebut pasti terjadi

Jika 0< P< 1, disebut probabilitas kemungkinan , artinya kejadian atas peristiwa tersebut dapat atau tidak dapat terjadi.

Jika kemungkinan terjadinya peristiwa E disebut P (E) maka besarnya probabilitas bahwa peristiwa E tidak terjadi adalah :

P (E) = 1 – P (E)

D.   Hukum Probabilitas

Dalam mempelajari hukum dasar probabilitas berturut-turut akan dibahas hukum penjumlahan dan hukum perkalian.

1.    Hukum Penjumlah

Terdapat 2 kondisi yang perlu diperhatikan, yaitu:

a.     Mutually Exclusive (saling meniadakan)

Dua peritiwa merupakan peristiwa yang Mutually Eclusive jika terjadinya peristiwa yang satu menyebabkan tidak terjadinya peristiwa yang lain. Peristiwa tersebut tidak dapat terjadi pada saat yang bersamaan, peristiwa saling asing.

Jika peristiwa A danb B saling lepas, probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah :

P ( A U B) = P (A) + P (B)

Contoh:

Sebuah dadu dilemparkan ke atas, peristiwa-peristiwanya adalah:

A = peristiwa mata dadu 2 muncul

B = mata dadu lebih dari 4 muncul

Tentukan probabilitasnya dari kejadian P (A U B) :

P (A) = 1/6   dan P (B) = 2/6

P ( A U B ) = 1/6 + 2/6 =  3/6

b.     Non Mutually Exclusive (kejadian bersama)

Dua peristiwa dikatakan non exclusive , bila dua peristiwa tidak saling lepas atau kedua peristiwa atau lebih tersebut dapat terjadi bersamaan Dirumuskan sbb :

P (AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

Contoh:

Setumpuk kartu bridge yang akan diambil salah satu kartu. Berapa probabilitasnya adalam sekali pengambilan tersebut akan diperoleh kartu Ace atau kartu Diamont ?

Dimisalkan :

 A = kartu Ace

D = kartu Diamont

Maka P(AUD) = P(A) + P(D) – P(A∩D)

                           = 4/52 + 13/52 - 1/52

                         

                           = 16/52

Jika terdapat 3 peristiwa dirumuskan sebagai berikut:

P (AUBUC) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A∩B)- P(A∩C) - P(B∩C) + P(A∩B∩C)

2.    Hukum Perkalian

Terdapat dua kondisi yang harus diperhatikan apakah kedua peristiwa tersebut saling bebas atau bersyarat.

a.   Peristiwa Bebas (Independent)

Peristiwa terjadi atau tidak terjadi tidak mempengaruhi dan tidak dipengaruhi peristiwa lainnya.

 Apabila A dab B dua peristiwa yang Independent, maka probabilitas bahwa keduanya akan terjadi bersama-sama dirumuskan sebagai berikut :

P (A∩B) = P(A) x P(B)

Contoh:

Dari 100 barang yang diperiksa terdapat 30 barang rusak. Berapa probabilitasnya dalam:

a. tiga kali pengambilan terdapat rusak 1

b. empat kali pengambilan terdapat bagus 1

                                                                                                     

jawab :

dimisalkan

A = bagus

B = rusak

Maka P(A) = 0,70   P(B) = 0,30

a.      =  3

      = P(A ∩A∩B) U P(A ∩B∩A) P(B ∩A∩A)

      = 0,70 x 0,70 x 0,30 atau 0,70 x 0,30 x 0,70 atau 0,30 x 0,70 x 0,70

      = 0,147 + 0,147 + 0,147

      = 0,441

b.     Peristiwa Bersyarat (Dependent)

Terjadi jika peristiwa yang satu mempengaruhi/merupakan syarat terjadinya peristiwa yang lain. Probabilitas bahwa B akan terjadi bila diketahui bahwa A telah terjadi ditulis sbb :

P( B|A)

Dengan demikian probabilitas bahwa A dan B akan terjadi dirumuskan sbb :

P(A∩B) = P(A) x P(B|A)

Sedang probabilitas A akan terjadi jika diketahui bahwa B telah terjadi ditulid sbb :

P( A|B)

Maka probabilitas B dan A akan terjadi dirumuskan sbb :

P (A∩B) = P(B) x P( A|B)

Contoh :

Dua buah tas berisi sejumlah bola. Tas peertama berisi 4 bola putih dan 2 bola hitam. Tas kedua berisi 3 bola putih dan 5 bola hitam. Jika sebuah bola diambil dari masing-masing tas tersebut, hitunglah probabilitasnya bahwa :

a. Keduanya bola putih

b. Keduanya bola hitam

c. Satu bola putih dan satu bola hitam

Jawab:

Misalnya A1 menunjukkan peristiwa terambilnya bola putih dari tas pertama dan A2 menunjukkan peristiwa terambilnya bola putih di tas kedua, maka :

 P(A1 ∩A2) = P(A1) x P(A2|A1) = 4/6 X 3/8 = 1/4

Misalnya A1 menunjukkan peristiwa tidak terambilnya bola putih dari tas pertama (berarti terambilnya bola hitam) dan A2 menunjukkan peristiwa tidak terambilny7a bola putih dari tas kedua (berarti terambilnya bola hitam) maka :

P(A1∩A2) = P(A1) x P(A2|A1) = 2/6 x 5/8 = 10/48 = 5/24

Probabilitas yang dimaksud adalah : P(A1∩B2) U P(B1∩A2)

E.   Diagram Pohon Probabilitas

            Diagram pohon merupakan suatu diagram yang menyerupai pohon dimulai dari batang kemudian menuju ranting dan daun. diagram pohon dimaksudkan untuk membantu menggambarkan probabilitas atau probabilitas bersyarat dan probabilitas bersama. diagram pohon sangat berguna untuk menganalisis keputusan-keputusan bisnis dimana terdapat tahapan-tahapan pekerjaan.

Contoh:

F.    Ruang Sampel dan Titik Sampel

                  Ruang sampel adalah himpunan dari semua hasil yang mungkin pada suatu percobaan/kejadian. Ruang Sampel suatu percobaan dapat dinyatakan dalam bentuk diagram pohon atau tabel.

Titik Sampel adalah anggota-anggota dari ruang sampel atau kemungkinan-kemungkinan yang muncul.

Contoh:

Pada percobaan melempar dua buah mata uang logam (koin) homogen yang berisi angka (A) dan gambar (G) sebanyak satu kali. Tentukan ruang sampel percobaan tersebut.

a. Dengan Diagram Pohon

Kejadian yang mungkin:

AA : Muncul sisi angka pada kedua koin

AG : Muncul sisi angka pada koin 1 dan sisi gambar pada koin 2

b. Dengan Tabel

Ruang sampel = {(A,A), (A,G), (G,A), (G,G)}

Banyak titik sampel ada 4 yaitu (A,A), (A,G), (G,A), dan (G,G)

G.  Teorema Bayes

                  Dalam teori probabilitas dan statistika, teorema Bayes adalah sebuah teorema dengan dua penafsiran berbeda. Dalam penafsiran Bayes, teorema ini menyatakan seberapa jauh derajat kepercayaan subjektif harus berubah secara rasional ketika ada petunjuk baru. Dalam penafsiran frekuentis teorema ini menjelaskan representasi invers probabilitas dua kejadian. Teorema ini merupakan dasar dari statistika Bayes dan memiliki penerapan dalam sains, rekayasa, ilmu ekonomi (terutama ilmu ekonomi mikro), teori permainan, kedokteran dan hukum. Penerapan teorema Bayes untuk memperbarui kepercayaan dinamakan inferens Bayes.

atau

H.  Prinsip Menghitung

1.      Faktorial

                  Faktorial digunakan untuk mengetahui berapa banyak cara yang mungkin dalam mengatur sesuatu. Hasil perkalian semua bilangan bulat positif secara berurutan dari 1 sampai dengan n disebut n faktorial. Dari definisi faktorial tersebut, maka dapat dituliskan prinsip menghitung faktorial sebagai berikut:

n! = n x (n-1) x (n-2) x (n-3) x … 3 x 2 x 1

n! dibaca faktorial

0! = 1, 1! = 1

Contoh:

3! = 3x2x1 = 6

5! = 5x4x3x2x1 = 120

2.     Permutasi

Permutasi digunakan untuk mengetahui jumlah kemungkinan susunan (arrangement) jika terdapat satu kelompok objek. pada permutasi berkepentingan dengan susunan atau urutan dari objek. Permutasi dirumuskan sebagai berikut:

atau

dimana :

P = Jumlah permutasi atau cara objek disusun

n = jumlah total objek yang disusun

r/k = jumlah objek yang digunakan pada saat bersamaan, jumlah r/k dapat sama dengan  n atau lebih kecil

! = tanda dari factorial

3.     Kombinasi

Kombinasi digunakan apabila ingin mengetahui berapa cara sesuatu diambil dari keseluruhan objek tanpa memperhatikan urutannya. Jumlah kombinasi dirumuskan sebagai berikut:

sumber:
http://ismimiitsme.blogspot.com/2013/08/probabilitas-dan-statistika.html
https://vebrianaparmita.wordpress.com/2013/11/04/bab-vii-pengantar-peluang/
htttp://rogayah.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/35766/konsep+probabilitas.pdf